Question

in figura alaturatà este reprezentat triunghiul isoscel ABC, AB = AC = 50 cm
si BC = 60 cm. Pe laturile AB, respectiv AC, se iau punctele D, respectiv E.
astfel incât DEFG sà fie pätrat, cu punctele F si G situate pe BC.
a) Aratà cà latura pâtratului este egalà cu 24 cm.
b) Calculeazà distanta de la punctul B la dreapta DF.

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a)

ΔABC este isoscel

ducem înălțimea AN ⊥ BC, N ∈ BC

=> AN este mediană => BN = ½BC

=> BN = 30 cm

T.P. în ΔABN dreptunghic:

AN² = AB² - BN² = 50² - 30² => AN = 40 cm

notăm DG = GF = 2x => GN = x

BG = BN - GN => BG = 30 - x

ΔABN ~ ΔDBG

$\frac{AN}{DG} = \frac{BN}{BG} \iff \frac{40}{2x} = \frac{30}{30 - x} \\ 60x = 1200 - 40x \iff 100x = 1200 \\ \implies x = 12 \implies \bf DG = 24 \: cm$

b)

notăm cu h = d(B, DF)

în ΔDBF dreptunghic:

DG × BF = h × DF

BF = BG + GF = 30 - 12 + 24 => BF = 42 cm

T.P. în ΔDGF dreptunghic:

DF² = DG² + GF² = 2×24² => DF = 24√2 cm

atunci:

$h = \frac{DG \cdot BF}{DF} = \frac{24 \cdot 42}{24 \sqrt{2} } = \frac{42 \sqrt{2} }{2} \\ \implies \bf h = 21\sqrt{2}\: {cm}^{2}$