Question

În figura alăturată, M si N sunt mijloacele laturilor [AC], respectiv, [AB]. Știind ca BM intersectat CN={G} și [BM]congruent[CN], aratati că triunghiul
BGC este isoscel.

Answer 1

MN este linie mijlocie in tr. ABC pentru ca uneste mijloacele a doua laturi prin urmare:
MN║BC
triunghiurile NGM si BGC sunt asemena pentru ca au unghiurile respectiv congruente:
∡NGM=∡BGC opuse la varf
∡NMB=∡MBC, alterne interne, MN║BC, BM secanta
∡MNC=∡NCB, alterne interne
rapoartele de proportionalitate laturi
NG/GC=MG/GB=MN/BC=1/2 pentru ca MN=BC/2 (MN linie mijlocie)
aplicam proprietatile rapoartelor:
1)  (NG+GC)/GC = 3/2
2)  (MG+GB)/GB = 3/2
dar din ipoteza NG+GC=NC=MB=MG+GB rezulta  din 1) si 2) ca GC=GB, si prin urmare triunghiul BGC este isoscel.