Question

In figura alăturată,semidrptele [Ae,[Bf,[CG si [DH sunt bisectoarele unghiurilor paralelogramului ABCD si AE interesectat cu BF={M},BF intersectat cu CG ={N},DH intersectat cu CG={P},AE intersectat cu DH={Q}.Aratati ca MNPQ e dreptunghi.
Va rog explicatii de unde vin relatiile pe care le folositi​

Answer 1

Răspuns:

MNPQ este dreptunghi

Explicație pas cu pas:

ABCD este paralelogram

∢ABC ≡ ∢ADC și ∢BCD ≡ ∢BAD

notăm m(∢BAD) = 2x și m(∢ABC) = 2y

m(∢BAD) + m(∢ABC) = 180°

2x + 2y = 180° => x + y = 90°

[AE este bisectoare=> m(∢DAE)=m(∢BAE)=x

[BF este bisectoare=> m(∢CBF)=m(∢ABF)=y

[CG este bisectoare=> m(∢BCG)=m(∢DCG)=x

[DH este bisectoare=> m(∢CDH)=m(∢ADH)=y

AB || CD =>

m(∢BGC) = m(∢DCG) = x (alterne interne)

=> ∢BAE ≡ ∢BGC => CG || AE => NP || MQ

m(∢ABF) = m(∢CFB) = y (alterne interne)

=> ∢CDH ≡ ∢CFB => BF || DH => MN || PQ

=> MNPQ este paralelogram

în ΔBNC: m(∢BNC) = 180° - [m(∢CBN + m(∢BCN)] = 180° - (x + y) = 180° - 90° = 90°

=> m(∢MNP) = 90° (unghiuri opuse la vârf)

=> MNPQ este dreptunghi