Question

În figura alăturată, triunghiul ABC este dreptunghic în A, AA' este bisectoarea unghiului A, iar A'M || AB și A'N || AC . Se ştie că AB = 15 cm si AB/AC=2/3

a. Demonstrați că AMA'N este pătrat.
b. Calculați perimetrul AMA'N. ​

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Answer 2

Explicație pas cu pas:

a)

AA' este bisectoarea unghiului A

∢A'AN = ½×∢BAC => ∢A'AN = 45°

A'N || AC => A'N ⊥ AB (1)

în ΔA'AN dreptunghic:

∢AA'N = 90° - ∢A'AN = 90° - 45° => ∢AA'N = 45°

=> ΔA'AN dreptunghic isoscel

=> AN ≡ A'N (2)

A'M || AB => A'M ⊥ AC (3)

din (1), (2) și (3) => AMA'N este pătrat

(laturile opuse sunt paralele două câte două, are două laturi alăturate congruente și unghi drept)

b)

$\frac{AB}{AC} = \frac{2}{3} \iff \frac{15}{AC} = \frac{2}{3} \\ \implies \bf AC = 22.5 \: cm$

notăm AN = A'N = x

atunci BN = AB - AN => BN = 15 - x

ΔA'NB ~ ΔCAB

$\frac{A'N}{AC} = \frac{BN}{AB} \iff \frac{2x}{45} = \frac{15 - x}{15} \\ 30x = 45(15 - x) | : 15 \\ 2x = 45 - 3x \iff 5x = 45 \\ \implies \bf x = 9$

=> AN = 9 cm

P(AMA'N) = 4×AN = 4×9 = 36 cm