Question

În figura alăturată, triunghiul ABC este dreptunghic în A şi BC= 2AB,
triunghiul BDC este dreptunghic isoscel în D, iar punctul E este situat pe
latura AC, astfel încât AE=AB.
a) Arată că EBC = 15°.
b) Demonstrează că triunghiul BDE este echilateral.

Answer 1

Explicație pas cu pas:

a)

BC = 2AB => AB este cateta opusă unghiului de 30° => ∢ACB = 30°

=> ∢ABC = 60°

AB ≡ AE => ΔBAE este triunghi dreptunghic isoscel => ∢ABE = 45°

∢EBC = ∢ABC - ∢ABE = 60° - 45° = 15°

b)

T.P.: BE² = 2AB² => BE = AB√2

T.P.: BC² = 2BD² => BC = BD√2

BC = 2AB =>

$BD = \dfrac{BC \sqrt{2} }{2} = \dfrac{2AB \sqrt{2} }{2} = AB \sqrt{2} \\ \implies BD = BE$

=> ΔBDE este isoscel

∢DBE = ∢DBC + ∢EBC = 45° + 15° = 60°

=> ΔBDE este echilateral

q.e.d.