Question

In hexagonul regulat ABCDEF, de latura 12 cm, se noteaza cu M, N ,P ,Q,R,S punctele de intersectie ale diagonalelor AC,BD,CE,DF,EA.FB.Aratati ca M,N,P,Q,R,S sunt varfurile unui hexagon regulat si calculati aria si perimetrul sau.

 

Desenul stiu sa-l fac.

Answer 1

AC≡BD≡CE≡DF≡AE≡BF ( din componenta hexagonului, sau putem cu usurinta compara ΔABC cu ΔBCD cu ΔCDE cu ΔDEF su ΔEFA cu ΔFAB, si avem cazul de congruenta L.U L.)
Comparam ΔARS cu ΔAEC
<A=comun
fiindca BF || CE ⇒RS || CE ⇒ <ASR=<ACE si <ARS=<AEC⇒
ΔARS si  ΔAEC sunt asemenea , si deorece ΔACE=echilateral⇒
ΔARS= echilateral cu AS≡AR≡RS

In acelasi mod, comparand ΔBFD cu ΔBSM, s.a.m.d gasim:
AS≡BS≡BM≡CM≡CN≡DN≡DP≡EP≡EQ≡FQ≡FR≡AR≡RS≡SM≡MN≡NP≡PQ≡QR
⇒MNPQRS=hexagon regulat
SM=AC/3
AC/2=AB√3/2=12√3/2
AC=12√3
SM=12√3/3=4√3
Aria Hexagon=3L²√3/2

Aria MNPQRS=3*(4√3)²*√3/2=72√3 =Aria ABCDEF /3