Question

În interiorul unui triunghi echilateral, cu lungimea laturii de

1 cm, sunt plasate 5 puncte.

Sa se demonstreze că există două puncte, din cele 5,

cu distanța între ele mai mică decât 0,5 cm.


Vă mulțumesc foarte mult !

Answer 1

Sunt sigura ca explicatia e una mult mai ampla,dar eu m-am gandit ca avem 3 mijlocuri care rezulta 6 segmente congurente de 0.5 cm asa ca oriunde ai plasa ultimele doua puncte distanta dintre ele clar va fi mai mica de 0.5, in cazul in care ele sunt coliniare. Daca raspunsul nu este bun voi sterge comentariul ca sa nu raman cu punctele :)))

Answer 2

Răspuns:

adevarat

Explicație pas cu pas:

primele 5-1=4 puncte (de fapt, ar fi de dorit toate cele n=5, dar sa incepem cu n-1) trebuie sa formeze o structura regulata (simetrica) asa fel incat sa avem maximum de distante egale; orice distanta marita intre 2 puncte va miscsora cel putin o alta distanta

fie primele 3 puncte, IN INTERIOR, infinit apropiate de cele 3 varfuri..distanta intre oricare 2 dintre acestea tinde crescatorcatre 1 cm, fiind  deci <1cm

fie al patrulea punct egal departat de acestea, in centrul triunghiului

cea mai mica distanta intre acestea si unul cele 3 puncte apropiate de varf este infinit apropiata si mai mica de (2/3)*1*(√3/2)=√3/3∈(0,577;0,578)cm si coincide cu raza aproximativa a cercului circumscris, tot pt a obtine o structura regulata (simetrica)

al cincelea punct oriunde ar fi situat ar trebui sa imparta in 2 parti raza acestui cerc..impartirea pt a obtine distanta minima... mare este impartirea la 2(orice marire catre R a distantei intre 2 puncte va duce la micsorarea catre 0 a altei distante)

deci distanta minima<(√3/3) :2<0,577...:2≈0,29<0,3<0,5

Altfel, insopirat de solutia colegului /colegei

fie primele 3 puncte, IN INTERIOR, infinit apropiate decele 3 varfuri

fie al patrulea punct infinit apropiat de mijlocul uneia dintre laturi

avem distante deci <1, <√3/2≅0,866si usor>0,5 (daca ar fi pe latura ar fi EXACT 0,5cm

al cincelea punct , cf.rationamentului din prima varianat, va trebui sa imparta cel putin una din aceste distante in 2

adica vom avea <1:2=0,5

.<0,866/2 si

>0,5:2=0,25

dinte care dea mai mica este cea apropiata de 0,25 (chiar dac este "infinit" de apropiata si mai mare decat acesata)