In jurul punctului O se considera 27 de unghiuri avand masurile ,in grade, exprimate prin numere naturale ,nenule.Aratati ca cel putin doua dintre unghiuri sunt congruente.
Răspunsuri la întrebare
Adunam unghiurile exprimate prin numere naturale nenule
1 + 2 + .. + 27 = 27×28 : 2 = 378° > 360° ⇒
⇒ ca cel putin doua dintre unghiuri sunt congruente
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Demonstratie prin metoda reducerii la absurd:
presupunem, prin absurd, ca avem 27 de unghiuri in jurul unui punct, toate diferite intre ele in masuri.
Cea mai mica suma data de aceste unghiuri se realizeaza din secventa de masuri
1°, 2°, 3°, ... , 27°, si insumandu-le, avand o suma de tip Gauss, obtinem:
S = 27(1°+27°)/2 = 27 * 28° / 2 = 27 * 14° = 378°, ceea ce este cu 18° mai mult decat masura unghiului in jurul unui punct oarecare, deci presupunerea facuta este FALSA, de unde rezulta ca cel putin doua unghiuri trebuie sa fie sub congruente, astfel incat suma tuturor sa fie 360°.
Exemple:
1°, 2°, 3°, ..., 25°, 20°, 15°, care dau insumate 25*26°/2 + 35° = 25*13° + 35° = 325° + 35° = 360°
Aici avem doua perechi de unghiuri congruente, egale in masura, doua cate doua, cu 20° si respectiv 15°.
sau
1°, 2°, 3°, ..., 18°, 1°, 20°, 21°, ..., 27°, unde aven suma lor
18*19°/2 + 1° + 8(20°+27°)/2 =
9*19° + 1° + 4*47° =
171° + 1° + 188° =
360°
Unghiul 1 si 19 sunt congruente, egale in masura cu 1°.