Question

În jurul punctului O se consideră unghiurile AOB , BOC, COD , DOA , m( < AOB ) = 138° , iar m(< COD ) = 122° . Știind că [ OE este bisectoarea < AOD , [ OF este bisectoarea < BOC , se cer :


a) măsură unghiului < EOF


b) măsurile unghiurilor < AOD si < BOC dacă semidreapta opusă semidreptei [ OE este bisectoarea unghiului < BOF .



13.


O semidreapta [ OA se rotește în jurul punctului O , parcurgând în 5 secunde un unghi de 162° . Câte grade au unghiurile parcurse în fiecare secundă , dacă fiecare unghi reprezintă jumătate din sumă unghiurilor precedente ?



___________________________________________________

Determinați numărul unghiurilor adiacente în jurul unui punct , a căror măsură este determinată de numere întregi de grade si măsură unui unghi este dublul unghiului precedent .



_______________


Olimpiada judeteana

Answer 1

∡AOB+∡BOC+∡COD+∡DOA=360°
∡BOC+∡DOA=360-138-122=100°
notam ∡BOC=x  si  ∡DOA=y
x+y=100
x/2+y/2=50
∡EOF=y/2+DOC+x/2=x/2 + y/2 +122=172°
daca [OG este semidreapta opusa lui [OE, E,O si G coliniare in aceasta ordine si [OG este bisectoarea ∡BOF rezulta ca:
y/2=x/4
x=2y
x+2y=100°
x=50°
y=25° sau revenind la notatiile facute:
∡BOC=50°
∡DOA=25°

in secunda 1 ∡x
in secunda 2 ∡y
in secunda 3 ∡z
in secunda 4 ∡v
in secunda 5 ∡w

x+y+z+v+w=162°
y=x/2
z=(x+y)/2 = 3x/4
v=(x+y+z)/2=9x/8
w=(x+y+z+v)/2=27x/16
x+x/2+3x/4+9x/8+27x/16=162
81x=2592
x=32°
y=16°
z=24°
v=36°
w=54°

x+y+z+v+w=32+16+24+36+54=162°

ultima
avem n unghiuri
x+2x+2^2x+2^3x+2^4x+...............+2^(n-1) x =360
x(1+2+2^2+2^3+2^4+.....................+2(n-1)=360
x(2^n  - 1)=2^3 . 3^2 . 5
x=2^3 . 3=24
2^n - 1=3 . 5=15
n=4
deci imi iese ca ai 4 unghiuri
24, 48, 96, 192
suma lor e 360 grade