Question

In paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' , AB=6 cm , BB'=8 cm si masura unghiului format de BD' cu planul (ABCD) este 45 grade . Calculati
a ) lungimea diagonalei paralelipipedului
b ) cosinusul masurii ∠ u format de planele ( ABC') si ( ABC )
c ) aratati ca aria Δ BCD aria Δ BC'D' x cos u

Rog cu rezolvare detaliata , desenul fiindu-mi de un real folos

Answer 1

BD este proiectia lui BD' pe (ABCD) iar unghiul dintre BD' si (ABCD) este ∡DBD'
daca ∡DBD'=45° rezulta ca tr. DBD' este isoscel ⇒ BD=DD'=8 cm
b)
(ABC')≡(ABC'D')
AD'=BC', AD'⊥AB, BC'⊥AB ⇒ (ABC'D') este dreptunghi
(ABCD)∩(ABC'D')=AB
AD⊥AB, AD∈(ABCD)
AD'⊥AB, AD'∈(ABC'D')
din relatiile de mai sus rezulta ca unghiul dintre plane este ∡DAD'
AD=√(BD^2-AB^2)=√(64-36)=2√7
AD'=√(AD^2 +DD'^2)=√(28+64)=2√23
cos(∡DAD')=cos(u)=AD/AD'=2√7 / 2√23=√161/23
c)
aria BCD=AB x AD/2=6 x2x√7/2=6√7
aria BC'D'=D'C'xBC'/2=6x2√23/2=6√23
aria BC'D' x cos (u)=6√7, inlocuieste pe cos(u) ca sa te convingi
de fapt la acest punct puteam sa aplic teorema care zice ca aria proiectiei unei suprafete pe un plan este egala cu aria suprafetei de inmultit cu cosinusul unghiului dintre arie si planul pe care se face proiectia.
 in cazul nostru proiectia lui BC'D' pe (ABCD) este tr. BCD care e congruent cu ABD, iar unghiul dintre plane este u


si acum revin la ultimul punct al rezolvarii anterioare:
in triunghiul dreptunghic VMC ducem MN⊥VC, N∈VC. in acest tr. dr cunoastem:
∡C=60°, ∡V=30°, VM=3, MN=VM/2=3/2, si notam pe CM=x ceea ce determina pe CN=x/2.
cu pitagora in MNC avem: x^2=x^2/4+9/4, x=√3