Question

In paralelogramul ABCD distantele de la C la AB si la AD sunt egale. Demonstrati ca ABCD este romb.

Answer 1

Prelungim pe AD si construim CM ⊥ AD. 
Prelungim si pe AB si construim CE ⊥ AB.
Fie m(<A) = m(<CBE) = x (Deoarece unghiurile cu laturile paralele sunt egale).
Fie m(ADC)=180 - x(1) (Unghiurile alaturate unui paralelogram sunt suplementare, au suma egala cu 180)
Deoarece A,D,M sunt coliniare, rezulta ca m(ADC)+m(CDM)=180.(2)
Inlocuind pe (1) in (2) obtinem:
180-x+m(CDM) = 180 => m(CDM) = 180 - 180 +x => m(CDM)=x.
In triunghiurile MDC si CBE dreptunghice avem:
CE = CM(din ipoteza)
m(CBE)=m(CDM)=x(din (1) si (2))
=> Conform cazului C.U => Triunghiul MDC = Triunghiul CBE =>
=> DC = CB
Dar ABCD este paralelogram => DC = CB = AB = AD => ABCD este romb.