Question

În paralelogramul MNPQ, punctele A,B,C și D sunt mijloacele laturilor MN, NP, PQ și respectiv QM. Arătați că segmentul AC si BD se intersectează în părți congruente.

Answer 1

In interiorul paralelogramului, mijloacele laturilor lui formeaza un alt paralelogram.
In triunghiul QMN: D mijlocul lui [MQ]
A mijlocul lui [MN]
=> [AD] linie mijlocie => AD || QN(1) si AD = QN/2(1')
In triunghiul PQN: B mijlocul lui [NP] si C mijlocul lui [QP] =>
=> [BC] linie mijlocie => BC || QN(2) si BC = QN/2(2')
Din (1),(2) => AD || BC
Din (1'),(2') => AD = BC
=> ABCD paralelogram
Atunci daca ABCD este paralelogram, construind diagonalele observam ca jumatatile sunt congruente, deci segmentele AC si BD se intersecteaza in parti congruente.