Question

In pareleogramul ABCD , AC > sau egal BD , punctual M este piciorul perpendicularei duse din varful A pe diagonal BD .

a) stiind ca BD = 10 cm si AM = 8 cm , calculatia aria paralelogramului ABCD  .

b) aratati ca , daca punctual N este piciorul perpendicularei  duse din punctual C pe diagonal BD , atunci AMCN este parallelogram .

c) fie punctual P piciorul perpendicularei duse din punctual D pe diagonal AC . aratati ca , daca [AM] congruent [DO] , atunci ABCD este dreptunghi.

Answer 1

a) In ΔABD Am=inaltime pe baza BD=>
Aria ΔABD=AM*BD/2=8*10/2=40
Aria paralelogram ABCD=2*Aria ABD=2*40=80

b) CN_|_BD
si de vreme ce AM_|_ BD=> AM||CN
ΔADB=ΔBCD(fiindca este paralelogram si stim ca BC=AD, AB=CD, si <BCD=<DAB)
=> AM si CN sunt inaltimi in aceste triunghiuri => AM=CN
si DM=BN
=> ca ΔANB=ΔCMD (pt ca CD=Ab si <MDC=<NBA)
=> AN=MC
⇒ANCM este paralelogram;

c)DP_|_AC ⇒
Aria ABCD=2*(DP*AC):2=DP*AC
Aria ABCD= 2*(AM*DB):2=AM*DB
⇒DP*AC=AM*DB
daca  [AM]≡ [DP]
⇒ AC=DB , adica diagonalele sunt egale
si daca AD=BC, si AB=CD
⇒ atunci ABCD este dreptunghi.