Question

In patratul ABCD,cu latura de 6 cm,se considera E ∈(AB),asa incat E sa fie mijlocul laturii (AB),iar F ∈(AD),asa incat AF=2AD.
a)Calculati aria patrulaterului FEBC.
b)Calculati aria triunghiului ECF.
c)Determinati distanta de la punctual F la dreapta EC.
d)Aflati valoarea unghiului ECF.

Answer 1

a) Aria patrulaterului FEBC=Aria triunghiului FAB+Aria triunghiului CFB
avem triunghiul dreptunghic FAB
masura unghiului A=90 grade
AB=6cm
AF=AD/2
AF=6/2=3cm
AF=3cm
FB²=FA²+AB²
FB²=3²+6²=9+36=45cm²
FB=√45=3√5
FB=3√5cm
Aria triunghiului FAB=(c₁xc₂)/2=(FAxAB)/2=(3x6)/2=9cm²

Avem triunghiul isoscel CFB
FC=FB
FC=3√5cm
BC=6cm
Aria =(bxh)/2
notam inaltimea FN in triunghiul CFB
pt. a afla inaltimea FN avem triunghiul dreptunghic FNC
NC=BC/2=6/2=3cm
NC=3cm
pt.a afla pe FN  folosim Teorema lui Pitagora
FC²=FN²+NC²
FN²=FC²-NC²=(3√5)²-3²=45-9=36
FN=√36=6
FN=6cm
Aria triunghiului CFB=(BCxFN)/2=(6x6)/2=18 cm²
Aria patrulaterului FEBC=9cm²+18cm²=27cm²

b) Pt. a afla pe FE avem triunghiul dreptunghic FAE unde unghiul A are 90 grade
AE=3cm
AF=3cm
FE²=FA²+AE²=3²+3²=18
FE=√18=3√2cm
FE=3√√2cm
Pt.a afla pe EC avem triunghiul dreptunghic CBE unde unghiul B=90 grade
EB=AB/2=6/2=3cm
EB=3cm
BC=6cm
EC²=EB²+BC²=3²+6²=45
EC=√45=3√5cm
EC=3√5cm
Pt. a afla pe FC avem triunghiul dreptunghic FDC
FD=AD/2=6/2=3cm
FD=3cm
DC=6cm
FC²=DC²+FD²
FC²=6²+3²=45
FC=√45=3√5cm
Observam ca EC=FC deci triunghiul ECF este isoscel
In triunghiul isoscel ECF notam inaltimea CM
Pt. a afla inaltimea CM avem triunghiul dreptunghic CME
ME=FE/2=3√2/2cm
EC²=ME²+CM²
CM²=EC²-ME²=(3√5)²-(3√2/2)²=45-18/4=(45x4-18)/4=162/4
CM=√(162/4)=9√2/2cm
Aria triunghiului ECF=(FExCM)/2=(3√2x9√2/2)/2=54/4=13,5cm²