Question

În patrulaterul ABCD ,unghiurile ABC şi ADC sunt drepte.Pe laturile BC şi DC luăm punctele M şi respectiv N astfel încât BM =DN şi unghiul BAM =unghiul DAN.Să se arate că BC =CD şi că diagonalele patrulaterului ABCDsunt perpendiculare.
Cu desen vă rog!!Dau coroană.

Answer 1

m∡D =m∡B=90°⇒ABCD inscriptibil in cerculde diametru AC

m∡BAM=m∡DAN (ipoteza)
dar m BAM=m BDC (ABCD inmscriputibil si ambele unghiuri "subintind" arculBC
 si
m∡DAN=m㏒DBC (ABCD inscriptibil si ambele unghiuri cu varful pecerc subintind corada DC)
ceci m∡BDC=m∡DBC⇒ΔBDCisoscel ⇒CD≡CB(cerinta 1)⇒C ∈mediatoarei BD (1)

din
m∡BAM=m∡DAN (ipoteza)⇒m∡AND=m∡AMB (2)(la unghiuri congruente corespund complemente congruente)
(2)
si DN≡BM (ipoteza) ⇒(caz congruenta Catetat Unghi)⇒ΔAND≡ΔAMB⇒
⇒AM≡AN⇒A∈mediatoarei BD (3)
din (1) si (3)⇒AC este mediatoarea lui BD⇒BD⊥CD , cerinta 2
C.C.T.D
 O problema medie catre grea , dar cu adevarat frumoasa, multumesc!