Question

În piramida triunghiulară regulată VABC se cunosc AB = 12radical din 2 cm și VA=8radical din 6 cm. Calculaţi:

a lungimea razei cercului circumscris bazei ABC;

b măsura unghiului format de muchia VA cu planul (ABC)

cd(0, (VBC)), unde este centrul bazei ABC.
.

Answer 1

AB=12√2

VA=8√6

a.

Fie AD⊥BC

• AD este inaltime intr-un triunghi echilateral

$AD=\frac{l\sqrt{3} }{2}$

$AD=\frac{12\sqrt{6} }{2} =6\sqrt{6}$

OA se afla la 2 treimi de baza

$OA=\frac{2}{3} \times \ 6\sqrt{6} =4\sqrt{6}$

OA=4√6cm

b. AD⊥BC

AD⊂(ABC)

∡(VA,(ABC))=∡VAD=∡VAO

AD=6√6

Fie VO⊥AD

• Aplicam Pitagora in ΔVAO dr in O

VA²=VO²+OA²

VO²=384-96

VO²=288

VO=12√2cm

Observam ca 2AO=VA⇒ conform reciprocei unghiului de 30°⇒ m(∡AVO)=30°⇒ m(∡VAO)=60°

c.

d(O,(VBC))=OE

VD⊥BC

OD⊥BC

BC⊂(VBC)

OD se afla la o treime din AD

$OD=\frac{1}{3} \times 6\sqrt{6} =2\sqrt{6}$

OD=2√6cm

In ΔVOD aplicam Pitagora sa aflam

VD²=VO²+OD²

VD²=288+24=312

VD=√312=2√78

OE inaltime in ΔVOD

$OE=\frac{VO\times OD}{VD} =\frac{12\sqrt{2}\times 2\sqrt{6} }{2\sqrt{78} }=\frac{12\sqrt{6} }{\sqrt{39} } =\frac{4\sqrt{234} }{13}$