Question

In piramida triunghiulara regulata VABCD, care are aria laterala egala cu 18 centrimetri patrati, notam cu O centrul bazei ABC si cu M mijlocul muchiei [BC]. Daca masura unghiului dintre [(VB, (VAO)] este egala cu 45 de grade, aflati:

a) aria bazei
b) volumul
c) d(O,VC)
d) m[(VM,AC))

Va rog am nevoie de ea repede

Answer 1

MC=MB
BC⊥VM
BC⊥AM ⇒ BC⊥(VAM) ⇒ BC⊥(VAO)
M este proiectia B pe (VAM)  ⇒ VM  este proiectia VB pe (VAM)
m∡(VB;(VAO))=m∡(VB;VM)=m∡BVM=45°
tr. VBC este isoscel ⇒ VM este mediana, inaltime si bisectoare
m∡BVM=m∡CVM=45° ⇒ m∡BVC=90°
piramida are fetele in forma de triunghiuri dreptunghice isoscele
Al=3 x m^2/2=18  ⇒  m=VA=VB=VC=2√3 cm
cu pitagora ⇒ AB=BC=AC=2√6 cm
a)
Ab=AB^2√3/4=6√3 cm2
b)
AM=AB√3/2=3√2 cm
BO=CO=2 x AM/3=2√2 cm
OM=AM/3=√2 cm
VO=√(VB^2-BO^2)=√(12-8)=2 cm
V=Ab x VO/3=6√3 x 2/3=4√3 cm3
c)
ducem OP⊥VC, OP=d(O;VC)
aria COV in 2 moduri ⇒ VC x OP=CO x VO, OP=CO x VO/VC
OP=2√2 x 2/2√3
OP=2√6/3 cm
d)
notam N mijlocul lui AB ⇒ MN linie mijlocie in ABC ⇒ MN║AC
m∡(VM;AC)=m∡(VM;MN)=m∡VMD
triunghiul VMN este isoscel, DM=DN ⇒ VD⊥MN
cos(VMD)=MD/VM
MD=MN/2=AC/4=√6/2 cm
VM este mediana in tr dr. BVC ⇒ VM=BC/2=√6 cm
cos(VMO)=(√6/2)/√6=1/2 ⇒ m∡VMO=60°