În piramida trunghiulară regulată SABC, notăm cu A1, B1, C1
mijloacele muchiilor laterale și cu G centrul bazei.
a) Demonstrează că SA1B1C1 și GA1B1C1 sunt piramide
triunghiulare regulate.
b) Calculează raportul între volumul piramidei GA1B1C1 și
volumul piramidei SABC.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
-notam cu l=AB=AC=BC
fiecare dintre segmentele A1B1, A1C1 si C1B1 sunt linii mijlocii in triunghiurile care sunt fetele laterale ale piramidei (ex. in ΔSAB, deoarece A1 si B1 sunt mijloacele laturilor SA, respectiv SB⇒A1B1 este linie mijlocie si deci A1B1=AB/2=l/2)
la fel A1C1=AC/2=l/2 si B1C1=BC/2=l/2
Concluzie: si triunghiul A1B1C1 este echilateral.
Mai stim ca G=centrul de greutate se afla la intersectia medianelor si se afla situat pe fiecare dintre ele la 2/3 de varf si 1/3 de baza.
Pentru a fi rigurosi mai trebuie sa demonstram ca SG trece si prin SG1 (am notat cu G1 centrul ΔA1B1C1, deci punctul de intalnire al medianelor)
Este evident ca daca vom construi A1G' (G' fiind locul in care SG intersecteaza ΔA1B1C1) va trebui sa aratam ca G1=G'
unim AG' si o prelungim pana intersecteaza B1C1 in A'; folosind asemanarea triunghiurilor obtinem usor ca A1G'=AG/2. La fel aratam ca B1G'=BG/2 si C1G'=CG/2 deci pastreaza acelasi raport ca si G fata de varfuri ⇒ G'=G1=centrul de greutate al ΔA1B1C1
b) Vsabc=SG*Aabc/3
Vga1b1c1=GG1*Aa1b1c1
evident ca avem si GG1=GS/2 Aabc=l²√3/4
latura triunghiului A1B1C1 fiind in acelasi raport de l/2 avem ca Aa1b1c1=l²√3/16
deci Vsabc/ Vga1b1c1=(SG*l²√3/4)/(SG*l²√3/16/2)=8