Question

In planul triunghiului isoscel ABC se ridica perpendiculara AP.Se stie ca AB=AC=6 cm iar BC=AP=8 cm.
a)Calculati PB
b)Daca m este mijlocul laturii BC, calculati PM.
c)Aratati ca BC perpendicular pe planul MAP
d)Calculati d(M,AB)

Answer 1

a)
AP  _I_ (perpendicular )pe planul ABC ⇒ AP_I_AB
triunghiul APB dreptunghic
PB=√(8²+6²)=√(64+36)=√100=10 cm

b) M mijlocul lui BC  ⇒BM=MC=8/2=4 cm
triunghiul ABC isoscel ⇒AM care este mediana este si inaltime ⇒
triunghiul ABM dreptunghic  ⇒AM=√(6²-4²)=√(36-16)=√20=2√5 cm
triunghiul PAM dreptunghic  ⇒PM=√[8²+(2√5)²]=√(64+20)=√84=2√21 cm

c)teorema celor 3 perpendiculare
in cazul nostru AP_I_ pe planul  ABC
prin piciorul ei (adica prin A trece o dreapta AM continuta in planul  ABC)
orice dreapta deci si PM _I_ BC
dar BC_I_ AM
si o dreapta perpendiculara pe 2 drepte dintr-un plan este perpendiculara pe plan( adica pe planul MAP)

d)d(M,AB)=inaltimea in triunghiul AMB fata de AB
Atriunghi AMB=4×2√5/2=4√5
Atriunghi AMB=6×d(M,AB)/2=4√5
d(M,AB)=4√5/3 cm