Question

In progresia aritmetică (a) er rația r. se știe că a25=18 si S25=300. Să se
determine soluțiile ecuației x²-a₁x - 32r=0.

Answer 1

În progresia aritmetică (a), termenul general este a_n = a_1 + (n-1)r, unde a_1 este primul termen și r este rația progresiei.

Suma primelor 25 de termeni a unei progresii aritmetice este dată de formula S_n = n * (a_1 + a_n) / 2, unde S_n este suma primelor n termeni și n este numărul de termeni.

Din datele date, avem ecuațiile:

a_25 = 18

S_25 = 300

Substituind formula pentru termenul general în prima ecuație, obținem:

a_1 + 24r = 18

Și substituind formula pentru suma primelor n termeni în a doua ecuație, obținem:

25 * (a_1 + 18) / 2 = 300

Rezolvând sistemul de ecuații obținut, obținem:

a_1 = -18 + 24r

25 * (-18 + 24r + 18) / 2 = 300

-225 + 600r = 300

600r = 525

r = 525/600

Substituind valoarea lui r în prima ecuație, obținem:

a_1 = -18 + 24 * 525/600

a_1 = -18 + 21

a_1 = 3

Din ecuația a_n = a_1 + (n-1)r, avem:

a_1 = a_n - (n-1)r

Înlocuind valorile pentru a_1 și r în această ecuație, obținem:

3 = 18 - (25-1) * 525/600

3 = 18 - 24 * 525/600

3 = 18 - 21

3 = -3

Această ecuație nu are soluții reale, ceea ce înseamnă că ecuația x^2 - a_1x - 32r = 0 nu are soluții reale.