Question

In reperul cartezian x0y se considera punctele A(2,1) si B(-1,2). Determinati coordonatele punctului C∈(AB), astfel incat CA/CB=2.
DAU COROANA!!!!

Answer 1

Se afla mai intai ecuatia dreptei determinata de cele 2 puncte A(2;1) si B(-1;2) folosind formula:

$d: \frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$

Avem:

$AB \ : \ \frac{x-2}{-1-2}=\frac{y-1}{2-1} \ \ \ \ \textless \ =\ \textgreater \ \ \ \ \frac{x-2}{-3}=y-1} \\\\ AB \ : \ x-2+3y-3=0 \\\\ \underline{AB \ : \ x+3y-5=0}$

Pentru ca punctul C(m;n) sa apartina dreptei AB acesta trebuie sa verifice ecuatia dreptei astfel incat inlocuim x-ul ecuatiei cu m si y-ul cu n.
$C \ \in \ AB \Longrightarrow \ \ \ m+3n-5=0 \ \ \ (1)$

Aflam lungimea segmentului AB cu formula:
$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Avem:

$AB=\sqrt{(-1-2)^2+(2-1)^2}= \sqrt{(-3)^2+1^2}=\sqrt{9+1} \\\\ \underline{AB\to \sqrt{10}}$

Enuntul problemei dadea conditia ca CA/CB=2 <=> CA=2CB ; C ∈ AB.

[CA] + [CB]= [AB]
2[CB] + [CB]= [AB]
3 * [CB]= [AB] (2)

Aflam lungimea segmentului CB pentru C(m;n) si B(-1;2).
$CB=\sqrt{(-1-m)^2+(2-n)^2}$

Din (1) avem ca m=5-3n asa ca inlocuim in relatia antecedenta valoarea lui m.

$CB=\sqrt{(-1+3n-5)^2+4-4n+n^2} \\\\ CB=\sqrt{(3n-6)^2+4-4n+n^2} \\\\ CB=\sqrt{9n^2-36n+36+n^2-4n+4} \\\\ CB= \sqrt{10n^2-40n+40}$

Folosim relatia (2) si avem:
$3* \sqrt{10n^2-40n+40}= \sqrt{10} \\\\ 3* \sqrt{10(n^2-4n+4)}=\sqrt{10} \\\\ 3* \sqrt{10}* \sqrt{(n-2)^2}=\sqrt{10} \\\\ 3* |n-2|=1 \\\\ |n-2|= \frac{1}{3} \\\\ \hbox{Avem 2 solutii pentru n:} \\\\ 1) n^{(3}-2^{(3}= \frac{1}{3} \\\\ 3n=1+6 \\\\ n\to \frac{7}{3} \Longrightarrow m=5-\not 3* \frac{7}{\not 3} = 5-7 \ \textless \ =\ \textgreater \ m \to-2 \\\\\\ 2)n^{(3}-2^{(3}=-\frac{1}{3} \\\\ 3n=-1+6 \\\\ n\to \frac{5}{3} \Longrightarrow m=5-\not 3* \frac{5}{\not 3}=5-5 \ \textless \ =\ \textgreater \ m\to 0$

Verificam solutiile obtinute in ecuatia m+3n-5=0 pentru a obtine solutia finala.
$1)m=-2 \ \ \wedge \ \ n= \frac{7}{3} \\\\ -2+\not 3 * \frac{7}{\not 3}-5=0 \\\\ -2+7-5=0 \ \ \ 'A'$
Dar se poate observa din grafic ca punctul C se afla pe prelungirea segmentului AB,ce nu convine conditiei enuntului problemei.


$2)m=0 \ \ \wedge \ \ n=\frac{5}{3} \\\\ 0+ \not 3* \frac{5}{\not 3} -5=0 \\\\ 5-5=0 \ \ \ 'A'$

Ce convine conditiilor problemei date astfel ca avem solutia pentru:
$\boxed{C\ \display{(0;\frac{5}{3})}}$