Question

În reperul cartezian xOy A (3,5) B (-1,1) M (2,1)
a) scrieți ecuatia dreptei care trece prin A și B
b) scrieți ecuația dreptei care trece prin M și este paralela cu AB

Answer 1

Explicație pas cu pas pct a:

Pentru a determina ecuatia unei dreptei cand stim coordonatele a doua puncte de pe aceasta avem mai multe posibilitati.

Metoda 1 (cu determinant):

$AB: \left|\begin{array}{ccc}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x&y&1\end{array}\right|=0 \\AB: \left|\begin{array}{ccc}3&5&1\\-1&1&1\\x&y&1\end{array}\right| =0\\AB: 3-y+5x-x-3y+5=0\\AB: 4x-4y+8=0|:4\\AB: x-y+2=0\\AB: y=x+2$

Metoda 2 (cu formula de determinare a ecuatiei dreptei cand stim coordonatele a doua puncte):

$AB: \frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}\\AB: \frac{x-3}{-1-3}=\frac{y-5}{1-5}\\AB: x-3=y-5\\AB: y=x+2$

Metoda 3 (gasind vectorul director al dreptei AB si punand conditia ca A sau B sa apartina dreptei):

Vectorul director este:  

$\vec{AB}=(x_B-x_A)\vec{i}+(y_B-y_A)\vec{j}=-4\vec{i}-4\vec{j}$

Coordonatele vectorului director sunt:

$\vec{AB}=(-4,-4)$

Ecuatia dreptei va fi:

$AB: \frac{x-x_A}{x_{\vec{AB}}}=\frac{y-y_A}{y_{\vec{AB}}}\\AB: \frac{x-3}{-4}=\frac{y-5}{-4}\\AB: y=x+2$

Sau:

$AB: \frac{x-x_B}{x_{\vec{AB}}}=\frac{y-y_B}{y_{\vec{AB}}}\\AB: \frac{x+1}{-4}=\frac{y-1}{-4}\\AB: y=x+2$

Explicație pas cu pas pct b):

Si la acest subpunct avem doua metode de rezolvare:

Metoda 1:

Notam dreapta data (AB) cu $d_1$ si dreapta ceruta cu $d_2$.

Determinam panta dreptei $d_1$, pe care o notam $m_{d_{1}}$.

$d_1: y=x+2$

Panta dreptei $d_1$ este $m_{d_{1}}=1$ deoarece coeficientul lui x din ecuatia explicita a acestei drepte este 1.

Stim ca $d_1||d_2$. Asadar, $m_{d_{1}}=m_{d_{2}}=1$.

Scriem ecuatia dreptei $d_2$ folosind formula de determinare a ecuatiei dreptei cand cunoastem panta si un punct de pe aceasta.

$d_2: y-y_M=m_{d_{2}}(x-x_M)\\d_2: y-1=x-2\\d_2: y=x-1$.

Metoda 2:

Notam dreapta data (AB) cu $d_1$ si dreapta ceruta cu $d_2$.

$d_1: y=x+2$

Dreptele fiind paralele, au aceeasi panta. Asadar, daca scriem ecuatia dreptei $d_2$ in forma ei explicita, atunci m (coeficientul lui x) este acelasi si avem:

$d_2: y=mx+n\\d_2: y=x+n$.

Cum punctul M(2,1) se afla pe dreapta, avem ca:

$y_M=x_M+n\\1=2+n//n=-1$.

Stiind si n, acum putem finaliza exercitiul:

$d_2: y=x-1$.