Question

in reperul cartezian xoy se considera punctele A(1,2) si B (2,3).determinati ecuatia dreptei d care treca prin punctul A si este perpendiculara pe dreapta AB .

Answer 1

Explicatie pas cu pas:

Pentru a determina ecuatia unei dreptei cand stim coordonatele a doua puncte de pe aceasta avem mai multe posibilitati.

Metoda 1 (cu determinant):

$AB: \left|\begin{array}{ccc}x_A&y_A&1\\x_B&y_B&1\\x&y&1\end{array}\right|=0 \\AB: \left|\begin{array}{ccc}1&2&1\\2&3&1\\x&y&1\end{array}\right| =0\\AB:3+2y+2x-3x-y-4=0\\AB: -x+y-1=0 |:(-1)\\AB: x-y+1=0$

Metoda 2 (cu formula de determinare a ecuatiei dreptei cand stim coordonatele a doua puncte):

$AB: \frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}\\AB: \frac{x-1}{2-1}=\frac{y-2}{3-2}\\AB: x-1=y-2\\AB: x-y-1+2=0\\AB:x-y+1=0$

Metoda 3 (gasind vectorul director al dreptei AB si punand conditia ca A sau B sa apartina dreptei):

Vectorul director este:  

$\vec{AB}=(x_B-x_A)\vec{i}+(y_B-y_A)\vec{j}=\vec{i}+\vec{j}$

Coordonatele vectorului director sunt:

$\vec{AB}=(1,1)$

Ecuatia dreptei va fi:

$AB: \frac{x-x_A}{x_{\vec{AB}}}=\frac{y-y_A}{y_{\vec{AB}}}\\AB: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}\\AB: x-y+1=0$

Sau:

$AB: \frac{x-x_B}{x_{\vec{AB}}}=\frac{y-y_B}{y_{\vec{AB}}}\\AB: \frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{1}\\AB: x-y+1=0$

Acum stim ca dreapta AB este de ecuatie $AB: x-y+1=0$ .

Cautam ecuatia dreptei d, care trece prin A si este perpendiculara pe AB.

Metoda 1:

Determinam panta dreptei $AB$, pe care o notam $m_{AB}$. Aducem ecuatia acestei drepte la forma ei explicita.

$AB: x-y+1=0\\AB: y=x+1$

Panta dreptei $AB$ este $m_{AB}=1$ deoarece coeficientul lui x din ecuatia explicita a acestei drepte este 1.

Stim ca $AB_|_d$. Asadar, $m_{AB}*m_{d}=-1\\m_d=-1$.

Scriem ecuatia dreptei $d$ folosind formula de determinare a ecuatiei dreptei cand cunoastem panta si un punct de pe aceasta.

$d: y-y_A=m_{d}(x-x_A)\\d: y-2=-(x-1)\\d: y-2=-x+1\\d: y=-x+3$.

Metoda 2:

Aducem ecuatia dreptei AB la forma ei explicita.

$AB: x-y+1=0\\AB: y=x+1$

Dreptele fiind perpendiculare, au produsul pantelor egal cu -1. Asadar, daca panta dreptei $AB$ este 1, atunci panta dreptei $d$ este -1 si scriem ecuatia acesteia in forma explicita:

$d: y=mx+n\\d: y=-x+n$.

Cum punctul A(1,2) se afla pe dreapta, avem ca:

$y_A=-x_A+n\\2=-1+n\\n=3$.

Stiind si n, acum putem finaliza exercitiul:

$d: y=-x+3$.