În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(-1,2) și B(3,a), unde a este număr real.
Determinati numărul real a, stiind că dreptele OA si AB sunt perpendiculare. .
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Coef. unghiulari: m(OA) si m(AB)
OA _|_ AB daca m(OA)*m(AB) = -1
m = (y2-y1)/(x2-x1),
m(OA) = (2-0)/(-1 -0) = -2
m(AB) = (a-2)/(3+1) = (a-2)/4
(a-2)/4*(-2) = -1
2(a-2) = 4
a -2 = 2, a = 4
Răspuns:
a = 4
Explicație pas cu pas:
Metoda 1:
Ecuatia dreptei AO prin formula
x - x1 / x2 - x1 = y - y1 / y2 - y1.
O(0, 0) si A(-1. 2)
x-0 / -1-0 = y-0 / 2-0
y = -2x, deci are panta p1 = -2
Ecuatia dreptei AB prin determinant(ca sa facem putina variatie si sa repetam si formula dreptei care trece prin doua puncte, prin metoda determinantului):
A(-1, 2) si B(3, a)
x y 1
-1 2 1 =
3 a 1
2x + 3y - a - 6 - ax + y = 0
4y = x(a-2) + a+6 care are panta p2 = (a-2)/4
sau prin formula de mai sus, pt verificare:
x+1 / 3+1 = y-2 / a-2
x(a-2) + a-2 = 4y - 8
4y = x(a-2) + a+6, deci corect.
Conditia de perpendicularitate a doua drepte este ca produsul pantelor sale sa fie egal cu -1.
deci
p1 x p2 = -2 x (a-2)/4 = -1, adica
a-2 / 2 = 1
a = 4.
Metoda 2:
Conditia de perpendicularitate:
daca dreptele sunt scrise sub forma carteziana generala, atunci conditia care trebuie verificata pentru perpendicularitatea celor doua drepte este
a1a2 + b1b2 = 0,
unde ai si bi sunt coeficientii respectivi ai lui x si y, deci
2x + y = 0
x(a-2) - 4y + a+6 = 0
2(a-2) - 4 = 0, adica
a-2 - 2 = 0
a = 4.