Question

În reperul cartezian xOy se consideră punctele A(-1,2) și B(3,a), unde a este număr real.
Determinati numărul real a, stiind că dreptele OA si AB sunt perpendiculare. ​.

Answer 1

Răspuns:

Explicație pas cu pas:

Coef. unghiulari:  m(OA) si m(AB)

OA _|_ AB daca  m(OA)*m(AB) = -1

m = (y2-y1)/(x2-x1),  

m(OA) = (2-0)/(-1 -0) = -2

m(AB) = (a-2)/(3+1) = (a-2)/4

(a-2)/4*(-2) = -1

2(a-2) = 4

a -2 = 2,  a = 4

Answer 2

Răspuns:

a = 4

Explicație pas cu pas:

Metoda 1:

Ecuatia dreptei AO prin formula

x - x1  /  x2 - x1  =  y - y1  /  y2 - y1.

O(0, 0) si A(-1. 2)

x-0 / -1-0 = y-0 / 2-0

y = -2x, deci are panta p1 = -2

Ecuatia dreptei AB prin determinant(ca sa facem putina variatie si sa repetam si formula dreptei care trece prin doua puncte, prin metoda determinantului):

A(-1, 2) si B(3, a)

x y 1

-1 2 1 =

3 a 1

2x + 3y - a - 6 - ax + y = 0

4y = x(a-2) + a+6 care are panta p2 = (a-2)/4

sau prin formula de mai sus, pt verificare:

x+1 / 3+1 = y-2 / a-2

x(a-2) + a-2  = 4y - 8

4y = x(a-2) + a+6, deci corect.

Conditia de perpendicularitate a doua drepte este ca produsul pantelor sale sa fie egal cu -1.

deci

p1 x p2 = -2 x (a-2)/4 = -1, adica

a-2  /  2 = 1

a = 4.

Metoda 2:

Conditia de perpendicularitate:

daca dreptele sunt scrise sub forma carteziana generala, atunci conditia care trebuie verificata pentru perpendicularitatea celor doua drepte este

a1a2 + b1b2 = 0,

unde ai si bi sunt coeficientii respectivi ai lui x si y, deci

2x + y = 0

x(a-2) - 4y + a+6 = 0

2(a-2) - 4 = 0, adica

a-2 - 2 = 0

a = 4.