Question

În reperul cartezian xoy se considera punctele A(2,4), B(8,1), C(0,1). Arătați că punctul H(2,5) este ortocentrul triunghiului ABC

Answer 1

Distanta dintre doua puncte este:

$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

$AB=\sqrt{36+9}=3\sqrt{5} \\\\AC=\sqrt{4+9} =\sqrt{13} \\\\BC=\sqrt{64}=8$

Am verificat daca triunghiul este dreptunghic (nu este dreptunghic) , atunci coordonatele ortocentrului ar fi fost exact coordonatele varfului unghiului drept.

Pentru a afla coordonatele ortocentrului (punctul de intersectie a inaltimilor) trebuie sa aflam doua ecuatii a doua inaltimi si apoi sa rezolvam sistemul de ecuatie

Ecuatia inaltimii din punctul B:

$y-y_B=m(x-x_B)$

m=panta

Aflam panta dreptei AC

$m_{AC}=\frac{y_A-y_C}{x_A-x_C} =\frac{3}{2}$

Din conditia de perpendicularitate a doua drepte (produsul pantelor este egal cu -1)

$m=-\frac{2}{3}$

Ecuatia inaltimii din punctul B:

$y-1=-\frac{2}{3}(x-8)$

3y-3=-2x+16

Ecuatia inaltimii din punctul C:

$y-y_C=m(x-x_C)$

Aflam panta dreptei AB

$m_{AB}=\frac{y_A-y_B}{x_A-x_B} =\frac{3}{-6} =-\frac{1}{2}$

Din conditia de perpendicularitate a doua drepte (produsul pantelor este egal cu -1)

m=2

Ecuatia inaltimii din punctul C:

y-1=2(x-0)

y-1=2x

3y-3=-2x+16

y-1=2x⇒y=2x+1

Inlocuim in prima relatie si obtinem:

3(2x+1)-3=-2x+16

6x+3-3=-2x+16

8x=16

x=2

y=4+1=5⇒ coordonatele ortocentrului H(2,5)