Question

in tetraedrul abcd se noteaza cu G1 G2 G3 G4 CENTRELE DE GREUTATE ALE TRINGIURILOR BCD,DAC,ABD,RESPECTIV ABC.
DEMONSTARTI CA G1 G2 G2 PARALEL PE ABC 
AFLATI RAPORTUL DINTRE ARIILE TRIUNGHIURILOR G1 G2 G3 SI ABC 

Answer 1

Fie M- mijlocul lui [CD] si N- mijlocul lui [AD].

Deoarece G1 este centru de greutate in  ΔABC => $\frac{B G_{1} }{ G_{1}M } = 2$........(1)
G2-centru de greutate in ΔDAC => $\frac{A G_{2} }{ G_{2}M }$.......(2)
Din (1) si (2) => $\frac{B G_{1} }{ G_{1}M } = \frac{A G_{2} }{ G_{2}M } => G_{1} G_{2} || AB$ (Teorema reciproca a lui Thales)

G3 este centru de greutate in ΔABD => $\frac{B G_{3} }{G_{3}N } =2$ (3).
G2 este centru de greutate in ΔDAC => $\frac{C G_{2} }{G_{2}N } =2$ (4).

Din (3) si (4) =>$\frac{B G_{3} }{ G_{3}N }= \frac{C G_{2} }{ G_{2}N } => G_{2} G_{3} || BC$ (Teorema reciproca a lui Thales)

Cum G1G2 || AB si G2G3 || BC => (G1G2G3) || (ABC).

2 triunghiuri care au laturile respectiv paralele sunt asemenea, deci ΔG1G2G3 ~ ΔABC.
Raportul ariilor a doua triunghiuri asemenea este egal cu patratul raportului de asemanare.

$\frac{ A_{ G_{1} G_{2} G_{3} } }{ A_{ABC} } = (\frac{ G_{1} G_{2} }{AB}) ^{2}$

G1G2 || AB => ΔABM ~ ΔG2G1M => $\frac{ G_{1}G_{2} }{AB}= \frac{ G_{1}M }{BM} = \frac{1}{3}$
Deci raportul ariilor celor doua triunghiuri este $( \frac{1}{3}) ^{2}= \frac{1}{9}$.

Uite si desenul: