Question

In tetraedrul regulat ABCD de vârf A si muchie 6 cm se iau punctele M si N mijloacele muchiilor AB respectiv CD. a) arătati ca MN este perpendiculara pe AB si CD. b) determinati lungimea segmentului MN

Answer 1

Eu as gandi in felul urmator:
a) tetredru regulat= are 4 fete din triunghiuri echilaterale

daca N este mijlocul laturii CD, atunci :
-in triunghiul echilateral ACD  avem AN  _|_ CD (din proprietatile triunghiului echilateral)
-in triunghiul echilateral BCD  avem BN  _|_ CD (din proprietatile triunghiului echilateral)

Potrivit teoremei ca : o dreapta _|_ pe 2 drepte concurente ditr-un plan este perpendiculara pe plan,
in plaul format de triunghiul ANB ,cele 2 drepte sunt AN si NB :
pe care am demotrat ca CD_|_ BN, si CD_|_ AN => CD_|_ pe plaul format de ΔANB
cum MN este o dreapta in planul format de ΔANB, potrivit faptului ca o dreapta _|_ pe un plan , este _|_ pe orice deapta din plan => CD_|_ MN

La fel :
daca M este mijlocul laturii AB, atunci :
-in triunghiul echilateral ABC  avem CM  _|_ AB (din proprietatile triunghiului echilateral)
-in triunghiul echilateral ABD  avem DM  _|_ AB (din proprietatile triunghiului echilateral)

Potrivit teoremei ca : o dreapta _|_ pe 2 drepte concurente ditr-un plan este perpendiculara pe plan,
in plaul format de triunghiul MCD ,cele 2 drepte sunt MC si MD :
pe care am demotrat ca AB_|_ MC, si AB_|_ MD => AB _|_ pe plaul format de ΔMCD
cum MN este o dreapta in planul format de ΔMCD, potrivit faptului ca o dreapta _|_ pe un plan , este _|_ pe orice deapta din plan => AB_|_ MN

Drept urmare am demonstrat ca MN_|_AB si MN_|_CD!

b) in ΔACD, AN=inaltime, latura triunghiului echilateral =6 cm
AN=$\frac{ \sqrt{3} }{2} *6$=$3 \sqrt{3}$

in Δ dreptunghic ANM, ughiul AMN=90 (demonstrat anterior)
AN²=AM²+MN²
9*3=9+MN²
MN²=18
MN=$3 \sqrt{2}$