Question

In tetraedul regulat ABCD cu AB=6cm, se stie ca AO perpendicular pe (BCD), unde O este centrul ΔBCD

a) calculati lungimea segmentului [OD]
b)precizati pr. [AD]
(BCD)
c) calculati OA
d) determinati cos [<(AD,(BCD))]

Answer 1

a) O fiind centrul ΔBCD, el se afla la intersectia tuturor liniilor importante din triunghi care sunt aceleasi (si mediane si inaltimi si bisectoare si mediatoare) fiindca ΔBCD este echilateral. Fie M intersectia mediatoarei MOD(trece si prin O de aceea am scris-o asa). cu latura BC. Atunci MD este perpendiculara pe BC. ΔDMC este dreptunghic in acest caz. Calculam DM folosind teorema lui Pit. 
DM²+MC²=DC². In aceasta relatie DC=6cm, MC=BC/2=3cm. Deaici obtinem
DM=√(DC²-MC²). Inlocuim :DM=√(36-9) ⇒DM=√27 ⇒DM=3√3cm. Punctul O se afla la 2/3 din DM de punctul D si la 1/3 din DM de punctul M ca centru de greutate al ΔBCD, aflat la intersectia medianelor. Deci DO=2/3 din 3√3. Adica DO=3√3×2/3 ⇒DO=2√3cm.  
b) Proiectia lui AD pe planul (BCD) este tocmai segmentul DO.
c)Notam unghiul dintre dreapta AD si planul BCD cu α. In triunghiul AOD, dreptunghic in O (AO perpendiculara pe planul BCD si, ca urmare este perpendiculara pe orice dreapta din plan , deci si pe DO), putem calcula cosα.
El este dat de raportul dintre cateta alaturata unghiului α (adicaDO) si ipotenuza AD. Le cunoastem pe amandoua. AD este michie a tetraedrului.
cosα=DO/AD ⇒cosα= 2√3/6 ⇒cosα=√3/3cm