Question

In=$\int\limits^0_1 { \frac{ x^{n} }{1+ x^{2n} } } \, dx$
trebuie sa arat:
In≤$\frac{1}{n+1}$
Vreau doar sugestii.Multumesc!

8873088b9c68bb7649d7c20b9182c6f3.docx

Answer 1

$\frac{1}{n+1} = \int\limits^1_0 { x^{n} } \, dx$
Ramane de demonstrat ca diferenta dintre cele doua e mai mica ca si 0
 $\int\limits^1_0 { \frac{ x^{n} }{ x^{2n}+1 } } \, dx - \int\limits^1_0 { x^{n} } \, dx = \int\limits^1_0 { \frac{ x^{n}- x^{3n}- x^{n} }{ x^{2n}+1 } } \, dx = \int\limits^1_0 { \frac{- x^{3n} }{ x^{2n} +1} } \, dx$ 
Cum numitorul este mai mare ca 0 si numaratorul negativ,rezulta ca integrala va fi mai mica decat 0,de unde reiese ceea ce trebuia demonstrat