Question

In trapezul ABCD, AB//CD, avem AB=21 cm, CD=28 cm, BD=28 cm si AC=35 cm.Daca AC/\BD=(O), calculati AO,OC,BO si OD.

Answer 1

Trapez

ABCD este un trapez oarecare, cu AB || CD, CD > AB, AB = 21 cm, CD = 28 cm, BD = 28 cm, AC = 35 cm

AC∩BD={O}

• Teorema fundamentală a asemănării: o paralelă la una din laturile unui triunghi formează cu celelalte două laturi, sau cu prelungirile lor, un triunghi asemenea cu cel dat.

din AB || CD ⇒ ΔAOB ~ ΔCOD

→ avem rapoartele:

$\dfrac{AO}{CO} = \dfrac{OB}{OD} = \dfrac{AB}{CD} = \dfrac{21}{28} = \dfrac{3}{4} \iff \dfrac{AO}{CO} = \dfrac{OB}{OD} = \dfrac{3}{4}$

→ folosim formula de la rapoarte derivate:

       $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \iff \dfrac{a+b}{b} = \dfrac{c+d}{d}$

$\dfrac{AO+CO}{CO} = \dfrac{OB+OD}{OD} = \dfrac{3+4}{4} \iff \dfrac{AC}{CO} = \dfrac{BD}{OD} = \dfrac{7}{4}$

→ înlocuim cu datele din enunț:

$\dfrac{AC}{CO} = \dfrac{7}{4} \iff \dfrac{35}{CO} = \dfrac{7}{4} \iff CO = \dfrac{35 \cdot 4}{7} \implies \bf CO = 20 \ cm$

$AO = AC-CO = 35-20 \implies \bf AO = 15 \ cm$

$\dfrac{BD}{OD} = \dfrac{7}{4} \iff \dfrac{28}{OD} = \dfrac{7}{4} \iff OD = \dfrac{28 \cdot 4}{7} \implies \bf OD = 16 \ cm$

$BO = BD-OD = 28-16 \implies \bf BO =12 \ cm$