Question

În trapezul ABCD, AB || CD şi AB = 12 cm, iar CD= 6 cm. Dacă AD intersectat cu BC = {M}, AC intersectat cu BD = {N} şi MN intersectat cu AB= {P}, valoarea raportului dintre NP și MN este:​

Answer 1

Ipoteza:

AB=12 cm

CD=6 cm

Rezolvare:

CD║AB⇒T.F.A

$\frac{MD}{MA} =\frac{MC}{MB} =\frac{CD}{AB} \\\\\frac{MD}{MA} =\frac{MC}{MB} =\frac{6}{12} \\\\\frac{MD}{MA} =\frac{MC}{MB} =\frac{1}{2}$

• Daca raportul este 1 la 2 inseamna ca D si C sunt mijloacele laturilor MA si MB, deci CD este linie mijlocie

Fie CD∩MP={O}

OD║AP⇒T.F.A

$\frac{MO}{MP}=\frac{MD}{MA} =\frac{OD}{AP} \\\\\frac{MO}{MP}=\frac{OD}{AP}=\frac{1}{2}$

• Daca raportul este 1 la 2 inseamna ca O este mijlocul lui CD si P mijlocul lui AB

DO linie mijlocie in ΔMAP⇒ O mijlocul lui MP

Stim ca $\frac{MO}{MP}=\frac{1}{2}$

CD║AB⇒ ΔCND~ΔANNB

$\frac{CN}{NA} =\frac{DN}{NB} =\frac{CD}{AB} \\\\\frac{CN}{NA} =\frac{DN}{NB}=\frac{1}{2}$

• Daca raportul este 1 la 2 inseamna ca N este mijlocul lui BD si AC, respectiv OP

ON=NP

MO=OP

Notam NP=x

Vom avea MO=2x

ON=x

OP=2x

MN=MO+ON=3x

Deci raportul va fi

$\frac{NP}{MN}=\frac{x}{3x} =\frac{1}{3}$