Question

In trapezul ABCD cu AB||CD, AC intersectat cu BD in punctul O, M€(AD), N€(BC), astfel încât MN||AB și O€(MN). Arătați că:
a) [OM]=[ON]
b) MN=(2•AB•DC)/(AB+DC)

Answer 1

1.aplic T Thales in ΔDBA:

DO/DB=MO/AB si cu proportii derivate⇒

DO/(DB-DO)=MO/(AB-MO)⇔DO/OB=MO/(AB-MO)

2.aplic T Thales in ΔCBA:

CO/CA=NO/AB si cu proportii derivate⇒

CO/(CA-CO)=NO/(AB-NO)⇔CO/OA=NO/(AB-NO)

ΔAOB asemenea cu ΔCOD (au toate unghiurile egale ca alterne interne sau opuse la varf) si conform teoremei asemanarii:

DO/OD=CO/AO=DC/AB=k

Rezulta ca

MO/(AB-MO)=NO/(AB-NO)=k de unde deducem ca MO=NO

b)

din relatia anterioara MO=kAB-kMO⇔ MO=kAB/(k+1). Totodata k=DC/AB⇒ MO=(DC*AB/AB)/(DC/AB+1)=DC/(DC+AB)/AB=DC*AB/(AB+DC)

MN=2*MO=2*DC*AB/(AB+DC)qed