Question

In trapezul ABCD cu AB//CD si m(BAD)=90, se stie ca 2AB=CD si AC⊥ BD.
Valoarea lui AC/BD=?

Answer 1

Notam AB=a, deci DC=2a,  ducem din A paralela AM II BD, M∈DC ⇒ ABDM (paralelogram, laturi opuse paralele), si DM=a, AC⊥BD, BDII AM⇒
AC⊥AM, deci ΔACM dreptunghic, aplicam teorema inaltimii: h=AD=$\sqrt{MD*DC}= \sqrt{a*2a}=a \sqrt{2}$. Avem ΔACM siΔADM sunt asemenea fiind dreptunghice si au ∡M comun. Scriem raportul catetelor omoloage: $\frac{AC}{AM}= \frac{AD}{MD}$, AC si AD se opun aceluias unghi M, dar AM = BD, deci $\frac{AC}{BD}= \frac{h}{a}= \frac{a \sqrt{2} }{a}= \sqrt{2}.$