Question

In trapezul isoscel ABCD AB||CD si BD perpendicular pe AD.Baza mare AB=16cm si unghiul DBA=30 grade
A) Arata ca BD=8 radical din 3
B) Determina aria triunghiului BCD
Pls ajutati-ma

Answer 1

Salut!

Stim ca ABCD este un trapez isoscel, unde BD ⊥ AD, AB = 16 cm si ∡DBA = 30°.

O metoda foarte buna de a incepe o problema de geometrie aparent dificila este sa te uiti atent la ipoteza: toate informatiile iti sunt date cu un scop, este treaba ta sa iti dai seama cum sa le folosesti!

a) BD ⊥ AD ⇒ ∡ADB = 90 ⇒ ΔADB - dr. unde ∡ABD = 30°

⇒ (Teorema 30°-60°-90°) AD = 1/2 × AB = 1/2 × 16 = 8 cm

⇒ (Teorema lui Pitagora) AD² + BD² = AB² ⇒ 8² + BD² = 16² ⇒ BD² = 192 ⇒ BD = 8√3 cm

b) Din ipoteza, stim ca ABCD - trapez isoscel. Trapezul isoscel are doua proprietati utile pentru acest subpunct:

1. Unghiurile alaturate bazei sunt congruente.
2. Unghiurile opuse sunt suplementare.

Folosind aceste doua proprietati, putem deduce ca ∡B al trapezului are 60° in total, si din moment ce ∡ABD = 30°, atunci ∡DBC = 30°.

Stiind ca unghiurile opuse la varf sunt suplementare deducem ca ∡C = 120°.

∡D = ∡ADB + ∡CDB

∡D - opus cu ∡B ⇒ ∡D = 120°

⇒⇒ 120° = 90° + ∡CDB ⇒ ∡CDB = 30°

In triunghiul ΔBCD, ∡B ≡ ∡D ⇒ ΔBCD - isoscel ⇒ BC = CD = 8 cm.

Stim ca o inaltime trasa din varful opus bazei intr-un triunghi isoscel este si mediana, mediatoare si axa de simetrie.

Fie CC' ⊥ BD, unde C' ∈ BD.

CC' - h ⇒ CC' - med. ⇒ DC' = C'B = 1/2 × DB = 4√3 cm

CC' - h ⇒ ∡CC'D = 90° ⇒ (Teorema lui Pitagora) CC'² + C'D² = CD²

⇒ CC'² + (4√2)² = 8² ⇒ CC'² + 32 = 64 ⇒ CC'² = 32 ⇒ CC' = 4√2 cm

Formula ariei pentru un triunghi oarecare este (b × h)/2.

⇒ Aria ΔBCD = $\frac{4\sqrt{2}\cdot4\sqrt{2} }{2} = \frac{4\cdot4\cdot2}{2} = 4\cdot4 = 16 cm^2$

-Luke48