Question

In trapezul isoscel ABCD cu bazele BC de 9 cm si AD de 25 cm este inscris un cerc cu centru O
a) Aflati lungimea laturii laterale a trapezului
b) determinati raza cercului
c) Demonstrati ca triunghiul AOB este dreptunghic

Answer 1

a) Ducem perpendiculara din O la AD, si notam cu A'
Ducem perpendiculara din O la CD, si notam cu D'

 Triunghiurile dreptungice OA'D si OD'D sunt congruente dupa regule IC (ipotenuza-cateta):
 - ipotenuza OD este aceeasi
- cateta OA'-OD' pentru ca sunt raze ae cercului.
Rezulta ca A'D=D'D
A'D=AD:2=25:2=12,5
D'D=12,5

Ducem perpendiculara din O la BC, si notam cu C'
La fel procedam si cu triunghiurile OD'C=OC'C care sunt congruente
C'C=CD'=9:2=4.5

CD=CD'+D'D=4.5+12.5=17

b) Ducem inaltimea din B pe AD si notam cu B'
AB'=(AD-BC):2=(25-9):2=8

In triunghiul dreptunghic ABB' cunoastem AB=17 si AB'=8
Cu teorema lui Pitagora aflam BB'=15 care este de doua ori raza.
R=BB':2=15:2=7.5

c)Aflam laturile triunghiului AOB, 
Din triunghiul AA'O aflam cu teorema lui Pitagora AO=radical din 212,5
Din triunghiul OBC' aflam cu teorema lui Pitagora BO=radical din 76,5

Reciproca Teoremei lui Pitagora
Daca intre lungimile laturilor unui triunghi este adevarata relatia din teorema lui Pitagora, atunci triunghiul este dreptunghic.
AO^2+OB^2=AB^2
212,5+76,5=289