Question

                                                                                                                    

 In triunghiul isoscel ABC cu AB=AC si BC= 14 cm se construieste [ AP- bisectoarea unghiului BAC, unde P∈[BC]. Aflati:

a) Lungimea [BP]=?

b) Masura unghiului APB=?

c) Aratati ca punctul P este egal departat de laturile [AB] si [AC].

Va rog frumos sa ma ajutati!

Answer 1

Se da:
AB=AC  
BC= 14 cm
AP = bisectoare
P ∈ BC

Bisectoarea AP imparte ΔABC in 2 triunghiuri  ΔABP si ΔACP

AB = AC
AP  este latura comuna
<BAP = <CAP
<C = <B  pentru ca e triunghi isoscel
=> Suntem in cazul de congruenta LULU   !!!  mai mult decat necesar
=> ΔABP ≡ ΔACP
=> BP = CP = BC / 2 = 14 / 2 = 7 cm
a) Lungimea [BP] = 7cm

b) Masura unghiului APB=?
In ΔABC avem: <A + <B + <C = 180°
In triunghiurile ΔABP si ΔACP avem:
<C + <CAP = <B + <BAP  = 180 / 2 = 90°
=> <APB = 180 - (<B + <BAP) = 180 - 90 = 90°
=> <APC = 180 - (<C + <CAP) = 180 - 90 = 90° 

=> ΔABP si ΔACP sunt triunghiuri dreptunghice congruente

c) Aratati ca punctul P este egal departat de laturile [AB] si [AC].

Punctul P este varful unghiului drept al
triunghiurilor dreptunghice congruente ΔABP si ΔACP
AB si AC sunt ipotenuzele celor doua triunghiuri.
Distanta de la P la AB si de la P la AC
sunt inaltimile celor 2 triunghiuri duse din unghiul drept pe ipotenuza.

Hab = inaltimea ΔABP
Hac = inaltimea ΔACP

Hab = AP * BP / AB 
Hac = AP * CP / AC
Nu le putem calcula deoarece nu stim lungimile dar stim urmatoarele:
AP = AP  !!! 
BP = CP
AB = AC
 => Hab = Hac
=> d(P, AB) = d(P, AC)
cctd