Question

In triunghiul ABC (AB=AC),perpendiculara din A  pe bisectoarea unghiului B intersecteaza pe BC in M si perpendiculara din A pe bisectoarea unghiului C intersecteaza pe BC in N . Aratati ca NB=CM.

Answer 1

notam intersectia bisectoarei <b cu am = p
notam intersectia bisectoarei <c cu an = q
ΔABP≡ΔACQ DEOARECE AB≡AC; BP≡CQ; <APB≡<CQA = 90 GRADE
DE AICI REZULTA CA <BAP≡<CAQ
DAR <BAC ESTE UNGHI COMUN , DE AICI REZULTA CA :
<BAN≡<CAM
SI AB≡AC DIN IPOTEZA
<ABN≡<ACM (SUPLEMENTE DE UNGHIURI CONGRUENTE B SI C)

DIN ULTIMELE TREI RELATII REZULTA CA ΔABN≡ΔACM
DECI BN≡CM

Answer 2

Fie D= intersectia bisectoarei <C cu perpendiculara din A
    E- intersectia bisectoarei < B cu perpendiculara din A
trg ADC=trg ABE: {dreptunghice , AC=AB, <ACD=<ABE   ⇒ CD=BE
trg BEM=trg CDN: { dreptunghice, CD=BE, <EBM=<DCN ⇒ CN=BM
CB+BN=CB+CM ⇒ BN=CM