Question

In triunghiul ABC , AB < AC, [ BD este bisectoarea∡ABC , D ∈ (AC ) si AM este mediana cu M ∈ (BC) . Prin M se duce paralela MN la latura AB , N∈(AC) ,
care se intersecteaza cu BD in P si prin N se duce paralela NQ la AM , Q∈(BC)
Aratati ca MP = 2QC

Answer 1

Cum MP||AB rezulta ca m(∡ABP)=m(∡BPM) ca unghiuri alterne interne.

Dar m(∡ABP)=m(∡PBM) deoarece BP este bisectoarea ∡ABC, prin urmare:

m(∡BPM)=m(∡ABP)=m(∡PBM) deci ΔBPM este isoscel, cu MP≡MB.

AM este mediana, deci M este mijlocul lui BC.
MN||AB, deci MN este linie mijlocie in ΔABC, adica N este mijlocul lui AC.

Cum NQ||AM si N este mijlocul lui AC, rezulta ca in ΔAMC, NQ este linie mijlocie, deci Q este mijlocul lui MC, adica MQ=QC.

Asadar MC=2QC=MB=MP.