Question

In triunghiul ABC , AD este inaltime , D apartine lui BC. Pe laturile AB si AC se iau punctele Q si P , iar pe latura BC se iau punctele M si N astfel incat MNPQ sa fie patrat. Daca BC=12 cm si AD= 6 cm , calculati segmentul MN.

Answer 1

Notam latura patratului cu x.
Scriem aria triunghiului ABC in doua moduri:
$A_{ABC}=\dfrac{BC\cdot AD}{2}=36\ cm^2$

$A_{ABC}=A_{MNPQ}+A_{PNC}+A_{PAQ}+A_{MQB}\Rightarrow$
$\Rightarrow 36=x^2+\dfrac{x\cdot NC}{2}+\dfrac{x\cdot BM}{2}+\dfrac{x(6-x)}{2}$

$72=2x^2+x(NC+BM)+x(6-x)$

$72=2x^2+x(12-x)+x(6-x)$

$72=2x^2+12x-x^2+6x-x^2$

$x=\dfrac{72}{18}=4\ cm$

Se poate rezolva si cu asemanari de triunghiuri.