Question

In triunghiul ABC ,(AM este bisectoarea unghiului ∡BAC, M∈ (BC),iar MN II AC,N ∈(AB) si MP II AB,P ∈ (AC).Se stie ca AB=24 cm,AC=36 cm si BC=30 cm.
a)Stabiliti natura patrulaterului ANMP;
b)Calculati perimetrul patrulaterului ANMP.


Va rog sa ma ajutati sa o rezolv!

Answer 1

NM||AC si AM secanta⇒∡NMA≡∡PAM (alterne interne)
PM||AB si AM secanta⇒∡PMA≡∡MAN (alterne interne)
AM-bisectoare⇒ ∡NAM≡∡PAM
⇒∡NMA≡∡PAM≡∡PMA≡∡MAN

compar ΔNAM si ΔΔPAM
AM latura comuna
∡NMA≡∡PAM
∡PMA≡∡MAN ⇒ ULU   ΔNAM ≡ ΔPAM⇒ AP=MN si AN=MP ⇒ 
ANMP- paralelogram
dar ΔMAN-isoscel⇒AN=MN⇒ ANMP- romb

b) AC||MN⇒ ΔBMN asemenea ΔBCA⇒
BM/BC=BN/AB=MN/AC⇒ BM/30=BN/24=MN/36
MP||AB⇒ ΔMCP asemenea Δ BCA⇒
MC/30=CP/36=MP/24
CP/36=MP/24⇒(AC-AP)/36=MP/24 /*6 ⇒ (36-AP)/6=MP/4
AP=MP⇒ (36-AP)/6=AP/4⇒ (36-AP) *4= 6AP
144-4AP=6AP⇒ 144=6AP+4AP=10AP⇒ AP=14,4 cm

BN/24=MN/36 /*12⇒ BN/4=MN/6⇒ (AB-AN)/2=MN/3⇒ (24-AN)/2=MN/3
AN=MN⇒ (24-AN)*3=2AN⇒ 72-3AN=2AN⇒ 72=5AN⇒ AN=14,4 cm
P ANMP= 14,4*4= 57,6 cm