Question

In triunghiul ABC avem un punct D interior. Explicati ca BD plus BC mai mic fata de BA plus AC.

Answer 1

Fie punctul D in interiorul triunghiului ABC, D nu se afla pe nici o latura si nu este in nici unul din colturile triunghiului. In acest caz, se formeaza triunghiul DBC cu unghiurile
$\angle DBC<\angle ABC$
In acest caz, laturile care se opun acestor unghiuri sunt CD si AC. Punctul D se afla in interiorul triunghiului ABC, asadar stim ca aria triunghiului BCD este mai mica decat aria triunghiului ABC: $A_{BCD}<A_{ABC}$ de unde rezulta ca si raza cercului circumscris lui BCD este mai mica decat raza cercului circumscris lui ABC $R_{BCD}<R_{ABC}$ In aceste conditii, avand raza mai mare si unghi mai mare corespunzator sectorului de cerc, atunci AC>CD
$\angle DCB<\angle ACB$
In mod similar, luand laturile opuse si aplicand aceleasi ratiuni, AB>BD
Atunci, adunand cele doua inegalitati: AB+AC>BD+CD

$L_{arc}=\frac{\pi*R*\angle sector}{180}$ asta e formula generala, si observi ca daca ai unghi si raza mai mare, atunci si lungimea arcului, adica latura ta este mai mare.