Question

In triunghiul ABC, B' este simetricul lui B fata de mijlocul laturii AC si C' este simetricul lui C fata de mijlocul laturii AB. Demonstrati ca:
a) punctele C', A si B' sunt coliniare;
b) C'B'=2BC

Answer 1

notez cu:
D mijlocul lui AC, D∈AC, AD=DC
E mijlocul lui AB, E∈AB, AE=EB

in triunghiul ABB', DE este linie milocie (AE=EB si BD=DB'), deci:
1)  DE║AB'
in triunghiul ACC', DE este linie mijlocie (AD=DC si CE=EC'), deci
2)  DE║AC'

tinand cont de 1) si 2) si mai stim ca printr-un punct exterior (A) unei drepte (DE) se poate duce o singura paralela la dreapta DE prin urmare C'AB' sunt coliniare, AC' este in prelungirea lui B'A.

b)
in triunghiul ABC, DE este linie mijlocie
3)  DE=BC/2
dar din 1) si 2) rezulta:
DE=AB'/2
DE=AC'/2
din 3) 
BC=2DE=DE+DE=(AB'+AC')/2
AB'+AC'=2BC
C'B'=2BC
daca faci figura corect iti va fi usor sa intelegi. banuiesc ca sti sa duci simetricul unui punct fata de alt punct