Question

In triunghiul ABC bisectoarea unghiului BAC se intersecteaza cu bisectoarea unghiului ABC in punctul I . Masura unghiului ACB este de 60 de grade . Ducem DE perpendicular pe AB , I apartine lui DE , D apartine lui [AC] si E apartine lui [BC] . a) aflati masurile unghiului AIB b) aratati ca DE = AD + EB c) daca AC=12 cm si BC = 18 cm , aflati perimetrul triunghiului CDE

Answer 1

a) <AIB=<IBC=<B/2
<BAI=<IAC=<A/2
punctul de intersectie al bisectoarelor unui triunghi este centrul cercului inscris triunghiului=> IC este bisectiarea unghiului C=>
 in ΔAIB, avem <AIB=180-<A/2-<B/2
<A+<B=180-<C=180-60=120
<A/2+<B/2=120/2=60
=> <AIB=180-60=120°

b) in Δ IBE
<IBE=<B/2
Daca DE || AB=> <IEC=<ABC=<B=> <IEB=180-<B
=> <BIE=180-<IBE-<IEC=180-<B/2-(180-<B)=180-180+<B-<B/2=<B/2
=> <IBE=<BIE=<B/2=> ΔIBE este isoscel si BE=EI
 in Δ IAD
<IAD=<A/2
Daca DE || AB=> <IDC=<BAC=<A=> <IDA=180-<A
=> <AID=180-<IDA-<IAD=180-<A/2-(180-<A)=180-180+<A-<A/2=<A/2
=> <AID=<IAD=<B/2=> ΔIAD este isoscel si AD=DI
=> ED=DI+IE=AD+BE

c)AC=12 , BC = 18 ,
CD=AC-AD=AC-DI=12-DI
CE=BC-BE=BC-EI=18-EI
PΔCDE=CD+CE+DE=CD+CE+DI+IE=12-DI+18-EI+DI-EI=12+18=30
=> PΔCDE=30 cm