Question

In triunghiul ABC, consideram punctul P €AC, astfel incat A €(PC) si AP=AB. Daca (AQ este bisectoarea unghiului BAC , arătați BP||AQ.

Answer 1

AP=AB inseamna ca triunghiul ABP este isoscel cu unghiurile congruente
$\angle{ABP}=\angle{APB}$
BQ este bisectoarea unghiului BAC deci unghiurile partajate sunt egale cu jumatate din unghiul total atunci
$\angle{BAQ}=\angle{QAC}=\frac{BAC}{2}\Rightarrow\angle{BAC}=2\angle{BAQ}$
unghiul BAC va fi unghiul exterior al unghiului BAP din triunghiul ABP
unghiul exterior  al unui triunghi stim ca este egal cu suma celorlalte unghiuri din triunghiul respectiv, adica
$\angle{A_{ext}}=\angle{ABP}+\angle{APB}=\angle{BAC}\Rightarrow 2\angle{ABP}=2\angle{BAQ}\Rightarrow \angle{ABP}=\angle{BAQ}$
putem vedea ca dreapta AB intretaie laturile AQ si BP si formeaza respectivele unghiuri de mai sus ca unghiuri opuse(alterne interne). Conform regulii secantei pentru alterne interne, daca aceste unghiuri sunt egale, inseamna ca BP||AQ