Question

In triunghiul abc cu AB=18cm,AC=15cm, BC=22 cm, (Ad este bisectoare,D aparține lui (BC),iar DE \\ AB, E aparține lui (AC). Sa se determine:
a) BD si DC
b) perimetrul patrulaterului ABDE

Answer 1

Din DE || AB rezulta ca <BAD≡<ADE (ca unghiuri alterne interne), dar  <BAD≡<DAE (pentru ca AD este bisectoare), deci ΔEAD este isoscel, cu <ADE≡<DAE, deci EA≡ED si notam cu a lungimea lui EA=ED=a, deci EC=AC-AE=15-a cm.

De asemenea din DE || AB rezulta ca ΔDEC≈ΔBAC, deci:

$\frac{DC}{BC} = \frac{EC}{AC} = \frac{DE}{AB}$, adica:


$\frac{DC}{22} = \frac{15-a}{15} = \frac{a}{18}$ si din proprietarile rapoartelor egale avem:

$\frac{DC}{22} = \frac{15-a}{15} = \frac{a}{18} = \frac{(15-a)+a}{15+18}$, adica

$\frac{DC}{22} = \frac{15-a}{15} = \frac{a}{18} = \frac{15}{33}$

$\frac{DC}{22} = \frac{15-a}{15} = \frac{a}{18} = \frac{5}{11}$, de unde:

a) DC=$\frac{22*5}{11}$=10 cm

BD=BC-DC=22-10=12 cm

b) a=DE=AE=$\frac{18*5}{11}$=$\frac{90}{11}$ cm, deci

Perimetrul lui ABDE=AB+BD+DE+AE=18+12+2*$\frac{90}{11}$=30+$\frac{180}{11}$=$\frac{510}{11}$ cm