În triunghiul ABC cu [AB] congruent cu [AC],notăm cu M şi N mijloacele laturilor [AB],respectiv [BC] şi cu P simetricul punctului M față de punctul A. Arătați că triunghiul PNC este isoscel.
Răspunsuri la întrebare
Răspuns:
Ducem MN si NF linii mijlocii in ΔABC (notăm F mijlocul laturii AC).
Notăm cu E intersectia lui AC cu PN.
Notăm cu G intersectia lui NF cu PC.
Demonstrația are mai multe etape:
I. arătăm că PE ≡ EN
MN linie mijlocie în ΔABC ⇒ MN ║ AC ⇔ MN ║ AE
cum MA ≡ AP ⇒ AE linie mijlocie în Δ PMN
⇒ PE ≡ EN
II. arătăm că PG ≡ CG
NF linie mijlocie în ΔABC ⇒ NF ║ AB ⇔ FG ║ AP
cum AF ≡ FC ⇒ FG linie mijlocie în Δ PAC
⇒ PG ≡ GC
din I. și II. ⇒ EG linie mijlocie în ΔPNC ⇒ EG ║ NC
⇒ EGNC trapez
III. arătăm că EGNC trapez isoscel
ΔABC isoscel cu baza BC ⇔ ∡ABC ≡ ∡ACB
NF ║ AB, cu BC secantă ⇒ ∡ABC ≡ ∡FNC (corespondente)
⇒ ∡ACB ≡ ∡FNC ⇔ ∡FCN ≡ ∡FNC
⇒ ΔFNC isoscel cu FN ≡ FC (a)
EG ║ NC, cu EC secantă ⇒ ∡GEF ≡ ∡FCN (alt. interne)
EG ║ NC, cu GN secantă ⇒ ∡EGF ≡ ∡FNC (alt. interne)
⇒ ∡GEF ≡ ∡EGF
⇒ ΔGEF isoscel cu GF ≡ EF (b)
din (a) și (b) ⇒ EF + FC = GF + FN
⇔ diagonalele trapezului EGCN sunt congruente
⇒ EGNC trapez isoscel ⇔ EN ≡ GC
din I., II. și III. ⇒ PE ≡ EN ≡ PG ≡ CG
⇔ PN ≡ PC
⇔ Δ PNC isoscel
Explicație pas cu pas:
