Question

In triunghiul ABC dreptunghic in A, cu m(C)=30° construim AD perpendicular pe BC cu D € BC.
Fie M, N simetricele lui D fata de A, respectiv B. Arătați ca Triunghiurile ABC si DNM sunt congruente

Answer 1

Sinusul unui unghi este:
$\sin=\frac{cateta opusa}{ipotenuza}$
In cazul unghiului C
$\sin{C}=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}\Rightarrow BC=2AB$(1)
M este simetricul lui D fata de A, atunci D,A,M sunt coliniare si A este mijlocul laturii DM
N este simetricul lui B fara de B, rezulta ca N,D,B sunt coliniare si B este mijlocul laturii ND
atunci in triunghiul DNM AB este latura mijlocie corespunzatoare laturilor ND si DM. Avem atunci
$AB=\frac{MN}{2}\Rightarrow MN=2AB$(2)
din relatia (1) si (2), rezulta ca:MN=BC
AD este inaltimea triunghiului BC, atunci AD perpendicular pe BC. Atunci si prelungirile lor vor fi perpendiculare: ND perpendicular pe DM. Rezulta ca NDM este triunghi dreptunghic cu $\angle{NDM}=90$ adica are catetele ND si DM si ipotenuza MN
avem atunci ipotenuzele congruente MN=BC
Ne mai uitam acum si in triunghiul ABD. unghiul B are 60 grade(90-C)=(90-30) si scriem in functie de cosinus
$\cos{B}=\cos{60}=\frac{BD}{AB}=\frac{1}{2}\Rightarrow AB=2BD$
Dar B este mijlocul latrii ND, atunci stim ca
$ND=2BD$ din cele 2 relatii rezulta ca AB=ND
Avem asadar un caz de congruenta intre triunghiurile dreptunghice ABC si DNM de tip C.I cateta ipotenuza sunt congruente, atunci si triunghiurile sunt congruente.