Question

In triunghiul ABC dreptunghic in A cu unghiul C < decât unghiul B, se construiește înălțimea AD și mediana AM. Știind ca m(MAD)=30 de grade și MD=10cm,calculează lungimea segmentului [BC]

Answer 1

Ip.

ABC - triunghi dreptunghic

m (< C) < m (< B)

AD - inaltime

AM - mediana

m (<MAD) = 30

MD = 10

___________________________

Trebuie sa aflam cat este [BC].

<MAD = 30 iar unghiul ADM este de 90 grade, AD fiind inaltime.

De aici rezulta <DMA = 90-30 = 60 grade.

Acum putem aplica teorema 30-60-90 care spune ca latura opusa unghiului de 30 grade este jumatate din ipotenuza.

Conform T 30-60-90: DM = AM/2 => AM = 10 x 2 = 20

Acum ca sa aflam latura DA aplicam teorema lui Pitagora in triunghiul dr. DMA si anume $ipotenuza^{2} = cateta1^{2} + cateta2^2$.

Deci $20^2 = 10^2 + AD^2$

$AD^{2} = 20^2 - 10^2$

$AD = \sqrt{20^2-10^2}$

$AD = \sqrt{400-100}$

$AD = \sqrt{300}$

$AD = 10\sqrt{3}$

Ducem MF perpendicular pe AC ceea ce va rezulta in doua triunghiuri dreptunghice, MFA si MFC.

Observam ca <DMA este 60 grade, deci <AMC = 180-60 = 120 grade

Impartind si <AMC in doua dupa cum am dus si perpendiculara MF observam ca <AMF si <CMF sunt egale (60 grade) iar triunghiurile MFA si MFC sunt congruente, <MAF si <MCF egale (30 grade) deci rezulta ca triunghiul MAC este isoscel. Cum AM este de 20 cm inseamna ca si MC este tot 20.

Acum putem afla si <BAD care este 30 grade si cum <ADC este de 90 inseamna ca <ABD este de 60 grade.

Mediana AM a impartit latura BC in 2 segm. congruente, BM si MC.

=> BM = MC = 20 cm.

=> BC = 20 x 2 = 40 cm.