Question

În triunghiul ABC,fie [AM bisectoarea unghiului BAC,BE//AM,E ∈ (AC).
Demonstrați că:

a)triunghiul ABE este isoscel
b)CM =    AM 
   MB      BE-AM

Answer 1

Am atasat o poza cu desenul facut in Paint :)
   a) Stim ca AM || BE, AB-secanta => m(<BAM) = m(<ABE) (unghiuri alterne interne)
       Pentru a-mi fie mai usor de redactat, sa notam m(<BAM)=m(<MAC)=m(<ABE)= x
                                                                                             m(<BEA)= e, m(<BAE)= a
      Observam ca 2x + a = 180 de grade ( <EAC)
                               x + a + e = 180 de grade (triunghiul ABE)
                Din cele 2 relatii => e = x => m(<EBA) = m(<BEA) => triunghiul ABE - isoscel

    b) AM || BE => (Thales) $\frac{CM}{BC} = \frac{AM}{BE} = \frac{AC}{EC}$ =>

 => $\frac{CM}{BC} = \frac{AM}{BE}$ => ( formula din clasa a 6-a ) $\frac{CM}{BC-CM} = \frac{AM}{BE-AM}$ =>

       => $\frac{CM}{MB}=\frac{AM}{BE-AM}$