Question

In triunghiul ABC mijlocul M al laturii [BC] este egal depărtat de laturile [AB] si [AC] . Demonstrati ca triunghiul ABC este isoscel.

Answer 1

Când spune că M este egal depărtat de [AB] și [AC], asta înseamnă că distanța de la M la dreapta AB este egală cu distanța de la M la dreapta AC, adică perpendiculara pe AB dusă din M este egală cu perpendiculara pe AC dusă din M. 
Notăm cu N și P picioarele perpendicularelor duse din M pe AB, respectiv AC.
Avem astfel două triunghiuri dreptunghice, NBM și PCM.
În cele două triunghiuri avem 
[BM] ≡ [MC]
și
[MN]≡[MP].
Din cele două congruențe cele două triunghiuri NBM și PCM sunt congruente conform cazului CI(catetă ipotenuză).
Din congruența acestor trunghiuri avem că 
m(∡NBM)=m(∡PCM).
Cum 
∡NBM≡∡ABM
și
∡PCM≡∡ACM,
atunci triunghiul ABC are două unghiuri egale, deci este isoscel.